2007-2008: Wiskunde leidt je in goede banen

Uit de lessen meetkunde weten we dat de kortste afstand tussen twee punten langs een rechte lijn loopt, maar op het aardoppervlak liggen geen rechten. Hoe moet je dan de kortste weg in vogelvlucht tussen twee punten op onze planeet bepalen? Het blijkt dat de meetkunde van het boloppervlak verschilt van die van het Euclidische vlak...

Eerst en vooral hebben we in de bolmeetkunde een nieuw soort "rechten" nodig, of tenminste, verbindingslijnen tussen twee punten. Maar als er geen rechte lijnen op een boloppervlak liggen, welke kromme lijn kies je dan als verbindingslijnstuk? Daartoe kiezen we per definitie de kortste lijn tussen die twee punten, de zogenaamde geodeet.

Het is niet zo eenvoudig om aan te tonen, maar deze geodeten zijn de grote cirkels van de bol: cirkels die door het middelpunt van de bol gaan. Intuïtief kan je dit begrijpen door te bedenken dat deze cirkels de grootst mogelijke cirkels op een bol zijn, ze hebben dezelfde straal als de bol, en dat een cirkel een rechte beter en beter benadert naarmate de straal groter wordt.

Bovendien blijkt dat het niet mogelijk is om een "wereldkaart" te maken, een afbeelding van de wereldbol in het vlak, waar die grote cirkels worden omgezet in rechte lijnen. Door een kaart te maken, moet je de geografie van de planeet dus zodanig veranderen, dat het niet meer mogelijk is om zomaar "de kortste weg" af te lezen. Omdat wij vertrouwd zijn met wereldkaarten waarin Europa gecentreerd is, en de polen het meest zijn vervormd, hebben wij daarom vaak een verkeerd beeld van de geometrie van de bol.

De beste manier om de kortste weg van hier naar Los Angeles te vinden, is dus een wereldbol nemen, want een vlakke kaart is sowieso misleidend!