Stap 1: een korte draai
Het laatste wiel één positie doordraaien zorgt er voor dat de andere raderen niet langer de juiste cijfers aanduiden.
Stap 2: een lange draai
Blijkbaar nemen de andere tandwielen verschillende posities in naargelang Wiel 13 in wijzerzin of in tegenwijzerzin op 7 wordt gezet. Als we blijven draaien, zullen de andere tandwielen dan ooit eens de gewenste positie innemen?
Stap 3: Verder draaien
De aanduiding op een tandwiel dat een ganse omwenteling maakt, verandert niet, terwijl dat bij de andere raderen wel gebeurt. Zo kan je één tandwiel in de juiste stand houden, terwijl je op een ander naar de juiste positie zoekt.
Stap 4: nog verder draaien
Om verschillende wielen tegelijkertijd in de gewenste positie te houden, bereken je het kleinste gemeen veelvoud van het aantal tanden van deze wielen en gebruik je dit aantal om telkens mee verder te draaien.
Stap 5: De oplossing!
Draaien we dus eerst het grootste tandwiel een positie in tegenwijzerzin om het op 7 te zetten, daarna nog 5.13+6.143=923 tanden verder om Wiel 11 en Wiel 7 op nul te zetten en ten slotte nog 1001 keer om het kleinste op 2 in te stellen, dan zien we de oorspronkelijke aanduiding te kunnen veranderen in 2 0 0 7 na 1+923+1001=1925 stappen.
Oplossing 1: algemeen probleem
We hebben nu erg rigoureus aangetoond dat vier tandwielen, in de gegeven configuratie, inderdaad van 2 0 0 6 op 2 0 0 7 kunnen worden gezet. De vraag rijst of we de tandwielen in elke mogelijke stand kunnen brengen: 0 0 0 0, 1 2 3 4, 4 6 10 12...
Oplossing 2: niet altijd een oplossing
We zagen eerder een voorbeeld van tandwielen die wel van een zekere beginstand in een welbepaalde eindstand kon worden verdraaid. Hier bekijken we situaties waar dat niet kan.
Oplossing 3: klokrekenen
Tot nu hebben we telkens bekeken hoe de raderen draaien en wat er met de tanden gebeurt. Hierbij kwam er geen rekenwerk aan te pas. Nochtans is er een mooie rekentechniek, modulorekenen, die toelaat om te cijferen op tandraderen, zonder je deze echt te moeten voorstellen.
Oplossing 4: wanneer niet?
We onderzoeken nu of een klok, of een tandwiel, alle mogelijke posities doorloopt als we steeds eenzelfde aantal tanden verder draaien.
Oplossing 5: wanneer wel?
Wanneer het aantal tanden van elk tandwiel verschillend en priem is, zal een willekeurige aanduiding kunnen worden veranderd in elke andere. Zoniet is dit niet gegarandeerd.
Vorige: 2006-2007: Getallen in actie, doe je mee?
