Wat is een platonisch lichaam?
Wat maakt deze ruimtelichamen zo bijzonder? Waarom zijn er slechts 5? Wat betekenen ze voor de wiskunde?
Het viervlak of tetraëder
Het eenvoudigste regelmatig veelvlak is het viervlak of tetraëder, niet te verwarren met een Egyptische piramide. Een tetraëder heeft enkel gelijkzijdige driehoeken als zijvlakken, welke per drie samenkomen in elk hoekpunt. Een Egyptische piramide daarentegen heeft een vierkant als grondvlak met daarop vier gelijkzijdige driehoeken (niet in overeenstemming met de tweede voorwaarde voor regelmatige veelvlakken).
Het zesvlak of hexaëder
De kubus heeft zes zijvlakken (denk aan een dobbelsteen) en wordt daarom ook zesvlak of hexaëder genoemd (dus f=6). We berekenen het aantal hoekpunten en het aantal ribben van een kubus.
Andere regelmatige veelvlakken
Minder bekend zijn de andere platonische lichamen: het acht-, twaalf- en twintigvlak of respectievelijk octaëder, dodecaëder en icosaëder. Vooraleer we deze ruimtefiguren van naderbij bestuderen, tonen we aan dat slechts deze kunnen bestaan.
Duale veelvlakken
Hiervoor hebben we een veelvlak gekarakteriseerd met behulp van de parameters m en n, het aantal veelhoeken m dat samenkomt in een punt en het aantal punten n dat ligt op een veelhoek. Wat als we de parameters in één Schläfli-symbool verwisselen?
Meer veelvlakken
Wat gebeurt er als we één van de bepalende eigenschappen voor platonische lichamen weglaten? Zullen we dan méér veelvlakken aan de resterende eigenschappen voldoen? Komen er immers geen nieuwe mogelijkheden bij, dan is de weggelaten eigenschap niet bepalend, maar slechts een gevolg van de andere. We tonen aan dat elk van de eigenschappen noodzakelijk is door de mogelijke beperkingen te overlopen en te illustreren met een voorbeeld.
Historische noot
De platonische lichamen spreken al sinds mensenheugenis tot de verbeelding. Ze zijn alle vijf reeds sinds de oudheid bekend en doorheen de geschiedenis worden hun meetkundige en symmetrie-eigenschappen bestudeerd en bewonderd. Aanvankelijk is wiskunde geen op zichzelf staande discipline. Zij onstaat uit de praktische toepassing en krijgt bijzondere aandacht door haar elegantie waardoor ze sterk verweven raakt met filosofie en religie. In de loop van dit historisch overzicht wordt duidelijk hoe dit de benadering van de platonische lichamen beïnvloedt.
Zelf op zoek
Het internet bulkt van de adresjes waar meer informatie kan worden gevonden over platonische lichamen en veelvlakken in het algemeen. We geven een greep uit de sites die ons inspireerden.
Vorige: 2005-2006: Wiskunde, verrassend veelzijdig
