2000-2001: Wiskunde en tijgers

Over de huid van dieren (met dank aan Stéphane Durand, Montreal)

Het belang van wiskunde in bepaalde disciplines zoals bijvoorbeeld fysica is reeds lang gekend. Pas recent is de kracht van wiskunde voor disciplines als biologie en botanica zichtbaar geworden. Sommige fenomenen die voorheen toegeschreven werden aan het toeval of aan genetische invloeden, blijken nu het gevolg te zijn van wiskundige dynamica. Het meest spectaculaire voorbeeld is wellicht dit van het patroon op de huid van dieren.

Hoe komt het dat de huid van sommige diersoorten vlekken vertoont, zoals bijvoorbeeld bij een luipaard, terwijl de huid van andere dieren gestreept is, denk aan een tijger, een zebra? Hoe komt het dat de vlekken van een giraf veel groter zijn dan en verschillend zijn van de vlekken van een luipaard? Hoe komt het dat de huid van sommige dieren, zoals de muis en de olifant, geen patroon vertoont? Hoe komt het dat sommige dieren een gevlekt lichaam hebben terwijl hun staart strepen heeft (jachtluipaard, jaguar, luipaard), maar niet andersom, nl. dieren met een gestreept lichaam en een staart met vlekken?

Op al deze vragen kunnen we een wiskundig antwoord formuleren. Het model beschrijft de manier waarop twee verschillende chemische producten reageren en zich over de huid verspreiden: het ene product kleurt de huid, het andere niet; meer precies, het ene product stimuleert de productie van melanine, het andere product verhindert deze productie.

Wat opvalt is dat de vergelijkingen tonen dat de verschillende patronen enkel afhangen van de grootte en de vorm van het gebied waar ze gevormd worden. Anders gesteld: dezelfde basisvergelijkingen verklaren al de patronen. Maar, waarom vertoont de huid van de tijger en het luipaard dan verschillende patronen terwijl hun lichamen gelijkaardig zijn? Dit komt doordat het vormen van de patronen niet op hetzelfde moment gedurende de ontwikkeling van het embryo gebeurt. In het geval van de tijger is het embryo nog klein, terwijl in het geval van het luipaard het embryo al groter is.

Meer precies: de vergelijkingen tonen aan dat er geen patroon wordt gevormd als het embryo heel klein is, dat er een gestreept patroon wordt gevormd als het embryo een beetje groter is, een gevlekt patroon als het nog groter is en helemaal geen patroon als het te groot is. Dit is de reden waarom de huid van de muis en de olifant geen patroon vertoont.

Meer nog, de vorm van het oppervlak maakt een verschil. Als je een bepaald oppervlak beschouwt dat groot genoeg is zodat er vlekken kunnen gevormd worden en je geeft dat oppervlak een lange, cilindrische vorm (zoals een staart) zonder de totale oppervlakte ervan te veranderen, dan worden de vlekken omgevormd tot strepen.

Op deze manier blijkt een uniek systeem van vergelijkingen al de huidpatronen die in de natuur voorkomen te bepalen. Hetzelfde type vergelijkingen laat ook toe het patroon op de vleugels van vlinders te verklaren en ook sommige kleurpatronen van exotische vissen. Laten we wel vermelden dat het proces van chemische diffusie waarover we het zojuist hadden (genoemd diffusie-reactie mechanisme) nog niet rechtstreeks is waargenomen op de huid van dieren, alhoewel sommige indirecte bewijzen de aanwezigheid van die chemische stoffen bevestigen. Die chemische stoffen zouden zich in de opperhuid bevinden, of er juist onder, waardoor het heel moeilijk is om ze experimenteel te detecteren. Op dit ogenblik blijft dit model uiteraard nog altijd een model, alhoewel belangrijk indirict bewijs het blijkt te bevestigen. In elk geval, als zo'n model er in slaagt om de verscheidenheid en rijkheid van de patronen die voorkomen op de huid van dieren grotendeels te verklaren, is dit zeker een teken dat het model een groot deel waarheid bevat.

Referenties

• J.D. Murray, How the leopard gets its spots, Scientific American, March 1988, p. 80
• J.D. Murray, Mathematical Biology, Springer-Verlag, 1993, 767 pages