2000-2001: Wiskunde en de huisjesslak

Over de gulden snede en de spiraal (met dank aan Stéphane Durand, Montreal)

De gulden snede heeft de volgende unieke en uitzonderlijke eigenschap:

Als een zogenaamde gulden rechthoek wordt geconstrueerd (dit is een rechthoek waarbij de verhouding van de zijden a/b gelijk is aan de gulden snede (figuur 1)) en als van die rechthoek een vierkant wordt verwijderd, verkrijgt men opnieuw een gulden rechthoek (de verhouding c/d is nog altijd gelijk aan de gulden snede). Met andere woorden, deze nieuwe rechthoek heeft dezelfde verhoudingen als de oorspronkelijke rechthoek.

Het is belangrijk op te merken dat deze eigenschap enkel geldt voor de gulden rechthoek.

Als bijvoorbeeld een vierkant verwijderd wordt van de willekeurige rechthoek in figuur 3, dan verkrijg je helemaal geen rechthoek met dezelfde verhoudingen als de oorspronkelijke rechthoek. Laat ons terugkeren naar de gulden rechthoek en naar de overgang van figuur 1 naar figuur 2. Daar het proces geldt voor alle gulden rechthoeken, kunnen we dit proces herhalen en opnieuw een vierkant verwijderen van rechthoek "cd": we krijgen opnieuw een kleinere gulden rechthoek (figuur 4).

Dit proces kan tot in het oneindige herhaald worden om op die manier een serie ineengenestelde rechthoeken te verkrijgen, de ene binnenin de andere in de vorm van een spiraal (figuur 5):

Deze heel speciale spiraal (de logaritmische spiraal genoemd) is exact die van de schelp van de nautilus (waarvan een foto op de VWO-poster) en van sommige huisjesslakken. Men vindt die ook terug in de hoorns van sommige geiten (markhor, girgentana), in de vorm van sommige spinnenwebben en in de opstijglijn van sommige vleermuiskolonies.

Merk op dat deze spiraal (evenals de oneindige rij van genestelde rechthoeken) een voorbeeld is van een object dat "zelf-gelijkvormig" is. Dit is m.a.w. een object met een structuur die op dezelfde manier wordt herhaald, maar steeds kleiner en kleiner op elke schaal. In feite wordt deze zelf-herhaling van hetzelfde patroon weerspiegeld in de wiskundige structuur van de gulden snede (zie verder).

Blijkbaar zou Stradivarius de gulden snede gebruikt hebben bij de constructie van zijn violen. De positie van de twee gaten in de vorm van een "f" bovenop de viool is van uitzonderlijk belang voor de schoonheid van de klank. Stradivarius zou de gulden snede gebruikt hebben om hun positie te bepalen (zie The New Oxford Companion to Music, vol. 2, p. 1927). Laat ons niettemin vermelden dat er geen wiskundige grond is voor het gebruik van de gulden snede: alhoewel de positie van de "f"-gaten van groot belang is, is het niet duidelijk of dit belang verbonden is met de gulden snede. Meer nog, de meeste van de huidige violen zijn niet geconstrueerd gebruik makend van dit getal. Maar het is zo dat, volgens experts, hun klank dan ook niet zo mooi is als die van een Stradivarius...

De gulden snede en de Fibonacci-getallen

Men kan de "fractaal"-structuur van de gulden snede zien door deze te schrijven in de vorm van een zogenaamde kettingbreuk:

Als we opeenvolgende benaderingen van deze breuk bekijken, bemerken we opnieuw de Fibonacci-getallen (meer bepaald de verhoudingen van deze getallen):

...