Meer veelvlakken

Interessant is ook zich af te vragen wat er gebeurt als we één van de bepalende eigenschappen voor platonische lichamen weglaten. Zullen we dan méér veelvlakken aan de resterende eigenschappen voldoen? Komen er immers geen nieuwe mogelijkheden bij, dan is de weggelaten eigenschap niet bepalend, maar slechts een gevolg van de andere.

We tonen aan dat elk van de eigenschappen noodzakelijk is door de mogelijke beperkingen te overlopen en te illustreren met een voorbeeld.

 

Geen regelmatige zijvlakken

We laten de eerste eis vallen.

2.

Alle zijvlakken zijn congruent;

3.

Alle hoekpunten zijn congruent;

4.

Het ruimtelichaam is convex.

We zoeken veelvlakken die convex zijn, met congruente maar niet-regelmatige zijvlakken. Ook moeten de hoekpunten door translatie, rotatie en spiegeling op elkaar zijn af te beelden.

We construeren een veelvlak dat hieraan voldoet, vertrekkende van een tetraëder. Neem twee overstaande ribben van een viervlak, houd de lengte van deze ribben constant maar trek ze verder uit elkaar, zodat de vier andere ribben langer worden en er vier gelijkbenige driehoeken ontstaan.

Deze zijvlakken zijn niet langer gelijkzijdig en dus niet regelmatig, maar wel onderling congruent. In elk hoekpunt komen twee basishoeken en één tophoek van zijvlakken samen. Verifieer dat de situatie in alle hoekpunten inderdaad congruent is. Er ontstonden geen deuken of uitstulpingen, het lichaam is ook nog steeds convex en voldoet dus aan de gestelde eisen 2, 3 en 4.

 

Geen congruente zijvlakken

Ten tweede zoeken we veelvlakken opgebouwd uit regelmatige veelhoeken die niet alle congruent zijn. De veelvlakken moeten wel convex zijn en alle hoekpunten congruent.

's Werelds meest bekende veelvlak is de voetbal. Ga na dat de zwarte zijvlakjes van een doodgewone, klassieke voetbal allemaal vijfhoeken zijn. De witte zijvlakken zijn zeshoeken. Het is meteen duidelijk dat witte en zwarte zijvlakjes niet congruent zijn. Toch zijn het allemaal regelmatige veelhoeken en het lichaam is evenzeer convex. Neem een voetbal en controleer dat elk hoekpunt op één vijfhoek en op twee zeshoeken ligt. We kunnen door rotatie, translatie en spiegeling de structuur van drie ribben, de vijfhoek en de twee zeshoeken, die een hoekpunt gemeenschappelijk hebben, afbeelden op de ribbe-vlak-structuur in elk ander hoekpunt. Dit betekent precies dat de hoekpunten congruent zijn. De voetbal heet in het jargon afgeknotte icosaëder/truncated icosahedron en behoort tot de familie van de archimedische lichamen of halfregelmatige veelvlakken die precies worden gedefinieerd door eigenschappen 1, 2 en 4. De archimedische lichamen kunnen in principe worden gevonden met een analoge bewijsvoering als hierboven, namelijk door alle mogelijke configuraties te zoeken van regelmatige veelhoeken die eenzelfde hoekpunt gemeenschappelijk hebben en door te eisen dat de totale hoek daarbij kleiner blijft dan

. Er blijken in dit geval dertien essentieel verschillende en realiseerbare configuraties over te blijven plus twee oneindige families van prisma's en anti-prisma's.

De prisma's bestaan uit twee n-hoeken en n vierkanten, ontstaan door een vierkant over de lengte van een zijde van de n-hoek te verschuiven. Elk hoekpunt grenst aan één n-hoek en twee driehoeken. De anti-prisma's bestaan uit twee n-hoeken en 2n driehoeken. De twee n-hoeken liggen op gepaste afstand verschoven van elkaar, de ene

geroteerd ten opzichte van de andere. Elk hoekpunt van de ene n-hoek wordt met lijnstukken verbonden met de twee hoekpunten van de corresponderende zijde van het onderliggende n-hoek, het grenst aan één n-hoek en drie driehoeken.

 

Hoekpunten niet congruent

Het is eenvoudig een convex veelvlak te construeren begrensd door regelmatige, congruente veelhoeken maar waarbij er niet steeds evenveel zijvlakken samenkomen in een hoekpunt. Neem twee congruente tetraëders en zet deze ondersteboven op elkaar, zodat het "grondvlak" samenvalt. Het verkregen lichaam mag niet met de octaëder worden verward. Hoekpunten die behoorden tot het "grondvlak" liggen op 4 zijvlakken, terwijl de twee "toppunten"' slechts op 3 zijvlakken liggen. We noemen dit lichaam de driehoekige dipiramide. Aangezien er maar één mogelijkheid is om vier- of vijfhoeken in een hoekpunt samen te brengen tot een convexe vorm, namelijk per drie, is het duidelijk dat er geen convexe veelvlakken met congruente, regelmatige vier- of vijfhoeken als zijvlakken kunnen bestaan die niet congruent zijn in de hoekpunten. De enige mogelijke veelhoeken in deze categorie hebben dus driehoeken als zijvlakken en behoren tot de familie van de deltaëders/deltahedra, veelvlakken met gelijkzijdige driehoeken als zijvlakken. Naast de drie platonische deltaëders, bestaan er nog vijf convexe deltaëders.

Niet-convexe veelvlakken

Moeilijker om voor te stellen zijn de niet-convexe lichamen die wel aan de andere eigenschappen van regelmatige veelvlakken voldoen. Er blijken precies vier zo'n lichamen te bestaan.

Hoewel de lichamen zelf al veel langer bekend waren, werden de grote sterdodecaëder/great stellated dodecahedron en kleine sterdodecaëder/small stellated dodecahedron pas in 1619 door Johannes Kepler herkend als regelmatige, zij het niet-convexe lichamen. De andere twee, grote dodecaëder/great dodecahedron en grote icosaëder/great icosahedron, werden voor het eerst beschreven door Louis Poinsot in 1809. Ten slotte bewees Augustin Louis Cauchy 1813 dat dit de enige vier zo'n lichamen zijn.

Belangrijk om op te merken is dat de zijvlakken van deze veelvlakken elkaar snijden, zonder dat de snijpunten beschouwd worden als hoekpunten. De ribben zijn op de figuren zoals vroeger getekend in vette rode lijnen. De fijne lijntjes daartussen zijn hulplijntjes die de snijlijnen aangeven. Om de structuur van deze lichamen duidelijk te zien, dien je goed in de gaten te houden uit welke n-hoeken ze zijn opgebouwd en hoeveel n-hoeken er samenkomen in elk punt.

We beschrijven hier de constructie van één zo'n lichaam, de grote dodecaëder. Vertrek van de icosaëder, waarin zoals inmiddels goed geweten vijf driehoeken samenkomen in elk hoekpunt. Ten overstaan van elk van de twaalf hoekpunten van de icosaëder vinden we een vijfhoek op de volgende manier.

Elk hoekpunt behoort tot vijf driehoeken. De overstaande zijden ten opzichte van het hoekpunt in elk van deze driehoeken vormen samen een vijfhoek. Deze vijfhoeken zijn precies de "zijvlakken" van het nieuwe veelvlak. Het is overduidelijk zo dat deze nieuwe figuur niet convex is, maar aan alle andere vereisten voor regelmatige veelvlakken voldoet zij wel.