Historische noot

De platonische lichamen spreken al sinds mensenheugenis tot de verbeelding. Ze zijn alle vijf reeds sinds de oudheid bekend en doorheen de geschiedenis worden hun meetkundige en symmetrie-eigenschappen bestudeerd en bewonderd. Aanvankelijk is wiskunde geen op zichzelf staande discipline. Zij onstaat uit de praktische toepassing en krijgt bijzondere aandacht door haar elegantie waardoor ze sterk verweven raakt met filosofie en religie. In de loop van dit historisch overzicht wordt duidelijk hoe dit de benadering van de platonische lichamen beïnvloedt.

De ontdekking van de regelmatige veelvlakken wordt toegeschreven aan Pythagoras van Samos (569 v.C.-475 v.C.) al kent hij waarschijnlijk echter enkel tetraëder, kubus en dodecaëder. Pythagoras wordt sterk beïnvloed door Thales van Milete (624 v.C.-547 v.C.), zelf beschouwd als de eerste Griekse filosoof, wetenschapper en wiskundige. Van beroep is Thales echter ingenieur, wat zich laat gelden in de pragmatische manier waarin hij met wiskunde omgaat. Stellingen komen eerder voort uit observatie dan door bewijsvoering.

Pythagoras daarentegen legt zich als eerste toe op het concept 'wiskundig bewijs', zodat hij tegenwoordig bekend staat als de eerste zuiver wiskundige. Verder maakt hij van de getallen abstracte concepten, 'twee huizen' of 'twee mensen' wordt eenvoudig 'twee'. Dit alles ontwikkelt zich vanuit de religie die Pythagoras en zijn volgelingen, de Pythagoreërs, aanhangen en die berust op het geloof dat alles in de wereld, op het diepste niveau, in wezen wiskundig van aard is. Hiermee wordt bedoeld dat alles is 'uit te drukken als getal of als verhouding van getallen', een idee dat voortkomt uit de observatie dat snaren waarvan de lengten zich als gehele getallen verhouden, harmonisch samenklinken. Aangezien de regelmatige veelvlakken precies zijn te vatten door twee getallen, hoeft het niet te verwonderen dat de regelmatige veelvlakken bij Pythagoras de naam perfecte veelvlakken krijgen.

Pas enige generaties later beschrijft Theaetetus van Athene (417 v.C.-369 v.C.) octaëder en icosaëder. Deze leerling van Socrates (470 v.C. - 399 v.C.) en Plato (427 v.C. - 347 v.C.) levert belangrijke bijdragen aan de wiskunde en hoewel er geen manuscripten van zijn hand bewaard zijn, vinden we veel over hem terug in Plato's dialogen Theaetetus en Sofist. Bovendien staat het zo goed als vast dat boeken X en XIII van de Elementen van Euclides precies zijn werk beschrijven.

Hoewel Theaetetus de eerste is die de vijf lichamen heeft geconstrueerd, worden ze ons overgeleverd via Plato's werk en worden ze naar hem genoemd. Plato gelooft dat de waarneembare werkelijkheid slechts een flauwe afspiegeling is van zuivere Ideeën. Zo beschrijft Plato in Theaetetus een mathematische constructie van de regelmatige veelvlakken en associeert daarmee de vier elementen en het universum. De wereldse deeltjes aarde, vuur, lucht en water zouden afspiegelingen zijn van de perfecte Ideeën kubus, tetraëder, octaëder respectievelijk icosaëder. Het vijfde lichaam, de dodecaëder, is voor Plato de vorm van het universum.

Euclides van Alexandrië (325 v.C. - 265 v.C.) is, net als Plato, een filosoof, maar zijn visie op wiskunde leunt dichter aan bij de wetenschap zoals wij die vandaag de dag kennen. Zijn belangrijkste werk, De Elementen, een collectie van dertien boekdelen beschrijft zowat de hele toen gekende meetkunde en werd tot begin vorige eeuw als handboek gebruikt. Wetenschappelijk gezien is het vandaag voorbijgestreefd, maar nooit zal het zijn status als invloedrijkste wiskundig werk moeten inleveren. Zoals Theaetetus hem heeft voorgedaan classificeert Euclides helemaal aan het einde van het dertiende boek de regelmatige veelvlakken en bewijst hij dat er slechts vijf bestaan.

In deze rij van grote Griekse geesten kan Archimedes van Syracuse (287 v.C. - 212 v.C.), soms de grootste wiskundige van de oudheid genoemd, niet worden vergeten. Voorbouwend op het raamwerk dat Euclides heeft uitgetekend, werkt hij talrijke meetkundige bewijzen uit en in een verloren gegaan werk zou hij de halfregelmatige veelvlakken hebben beschreven, welke nu naar hem genoemd worden.

Niet alleen in de oudheid spreken de regelmatige veelvlakken zo tot de verbeelding, evenmin blijft de verwevenheid tussen wiskunde en religie tot die tijd beperkt. Eeuwen later zien we dat Johannes Kepler (1571–1630) teruggrijpt naar Plato's verwantschap tussen de natuurelementen en de platonische lichamen. Bovendien identificeert hij de platonische lichamen met de toengekende planeten, de kubus met Saturnus, de tetraëder met Jupiter, de dodecaëder met Mars, de icosaëder met Venus en de octaëder met Mercurius. Hij probeert te bewijzen dat zekere meetkundige verhoudingen van platonische lichamen op een bepaalde manier terug te vinden zijn bij de onderlinge afstanden van deze planeten. Wanneer hij faalt dit cijfermatig te staven, verlaat hij deze visie. Aan zijn baanbrekend werk hebben we wel de befaamde drie Wetten van Kepler te danken evenals, minder bekend, de definities van andere veelvlakken zoals prisma's, anti-prisma's en de naar hem genoemde Kepler-lichamen.

Talloze andere wiskundigen in de geschiedenis houden zich, tot op vandaag, bezig met het bestuderen van veelvlakken die aan bepaalde eisen van regelmaat voldoen. Onder meer Louis Poinsot (1777 - 1859), de Belg Eugène Charles Catalan (1814 - 1894) en Norman Lloyd Johnson (1917 - 2004) krijgen zelfs hele klassen van dergelijke veelvlakken naar zich genoemd. Het bestuderen van veelvlakken en hun symmetrie blijft een hot topic in meetkunde en algebra. Niet alleen in wiskundige disciplines is deze studie relevant, zij kent ook haar toepassing in bijvoorbeeld kristallografie en scheikunde. De stabiliteit van de positie van moleculen in een vaste stof of van atomen in een molecule wordt sterk bepaald door symmetrie en regelmaat. Goed begrip van veelvlakken en inzicht in hun meetkundige structuur kan van toepassing kan zijn in vele disciplines. Hopelijk is deze uiteenzetting een eerste stap daartoe.