Home
Fractalen
| In het voorgaande doken reeds hier en daar de woorden fractal en fractaal op, zonder dat we echt vertelden wat fractalen nu precies zijn. We raakten niet verder dan een etymologische verklaring van het woord. Een exacte omschrijving geven is dan ook een beetje moeilijk. |
| De draak is een fractaal, en in het vervolg van deze uiteenzetting vind je er nog een aantal. Maar hoe kunnen we al deze figuren in één keer beschrijven? Wetenschappers herkennen een fractaal als ze er een zien maar er is geen echt algemeen bruikbare definitie. |
| Een fractaal voldoet aan één of meer van de volgende eigenschappen. |
 |
Fractalen zijn gecompliceerde, meetkundige figuren, die niet
vereenvoudigen als je ze vergroot. Vaak is een fractaal zelf-similair:
de fractaal komt geheel of gedeeltelijk voor als onderdeel van zichzelf.
Kijk bijvoorbeeld naar de spiraalarmen van de draak. De draak is in elke stap opgebouwd uit twee exacte kopieën van zichzelf. |
 |
Fractalen zijn vaak het resultaat van iteratieve processen. Ze zijn
het resultaat van een aantal handelingen die een oneindig aantal
keer moet worden herhaald.
Zoals gezegd zijn de tekeningen van de draak maar tussenstappen, het resultaat zelf is een ruimtevullende kromme, die je pas na een oneindig aantal stappen verkrijgt. |
| Fractalen spelen met dimensies. Het zijn ruimtevullende krommen of ze
hebben een niet natuurlijk getal als dimensie.
De draak vult het vlak, en heeft dus eigenlijk dimensie 2, terwijl we het als kromme gezien eerder onder de 1-dimensionale objecten zouden rangschikken. |
Iterated function systems
Er bestaan heel wat soorten fractalen, in te delen naar de manier waarop ze
ontstaan. Onze draak bijvoorbeeld is een voorbeeld van een iterated function
system (IFS). Zo een systeem bestaat uit een aantal operaties, zoals onze
Draai! en Draai en schuif!, die op een
eenvoudige beginsituatie worden toegepast, en nog eens op de nieuw verkregen
figuur, enzovoort. Een proces dat we reeds iteratie noemden. Is de gekozen beginsituatie en
het aantal en de soort operaties goed gekozen dan krijg je bijvoorbeeld onderstaande
Sierpinski-driehoek die drie bouwstenen heeft welke enkel uit verschuivingen bestaan.
De dimensie van de Sierpinski driehoek is
 . |
