Andere regelmatige veelvlakken

Minder bekend zijn de andere platonische lichamen, het acht-, twaalf- en twintigvlak of respectievelijk octaëder, dodecaëder en icosaëder. Vooraleer we deze ruimtefiguren van naderbij bestuderen, tonen we aan dat er inderdaad slechts deze kunnen bestaan.

1. Eerst tonen we dat elk veelvlak te karakteriseren is door een tweetal natuurlijke getallen (n,m), het zogenaamde Schläfli-symbool;
2. Vervolgens berekenen we de binnenhoek in een regelmatige n-hoek;
3. Tenslotte halen we uit de eis van convexiteit een voorwaarde voor het aantal zijvlakken dat kan samenkomen in een hoekpunt.

Uit de gevonden voorwaarde zal volgen dat er slechts een beperkt aantal regelmatige veelvlakken kan bestaan.

 

Het Schläfli-symbool.

De eerste twee definiërende eigenschappen van regelmatige veelhoeken bepalen dat alle zijvlakken congruente, regelmatige veelhoeken moeten zijn. Laat ons het aantal zijden van zo een veelhoek n noemen, dan zijn alle zijvlakken van de polyeder regelmatige n-hoeken.

Bovendien bepaalt de derde eigenschap dat alle hoekpunten congruent moeten zijn. Dit wil zeggen dat het aantal zijvlakken dat samenkomt in een hoekpunt constant moet zijn, anders kan de ribbe-zijvlak-structuur in één hoekpunt niet op die in een ander hoekpunt worden afgebeeld. We noemen het aantal zijvlakken in een hoekpunt m.

Het koppel (n,m), dat het Schläfli-symbool wordt genoemd, legt een regelmatig veelvlak eenduidig vast, want zij bepaalt eenduidig de situatie in elk hoekpunt en op elk zijvlak.

De reeds gekende veelvlakken kubus en viervlak hebben als Schläfli-symbool (4,3) respectievelijk (3,3).

 

De binnenhoek.

De eerste eis voor een regelmatig veelvlak is dat de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn. We berekenen voor een regelmatige n-hoek de binnenhoek We stellen een regelmatige n-hoek voor binnen zijn omgeschreven cirkel zoals op de illustratie en verbinden twee hoekpunten A en B met het middelpunt O van de omgeschreven cirkel. Omdat een volledige omwenteling telt en deze in n gelijke delen wordt verdeeld, meet de hoek

 

 

 

 

De hoeken en binnen de gelijkbenige driehoek zijn gelijk aan de helft van de gezochte binnenhoek . De som van de hoeken in een driehoek is steeds

zodat

 

 

 

Waaruit we volgend resultaat halen.

Het aantal vlakken per hoekpunt.

We bekijken nu de situatie waarin een aantal m congruente, regelmatige veelhoeken zijde aan zijde aan elkaar hangen en eenzelfde hoekpunt gemeenschappelijk hebben, zoals op de figuur. We weten dan dat de totale hoek gelijk is aan

,

 

 

 

We proberen nu een convexe vorm te realiseren door de uiterste zijden aan elkaar te hangen.

• Is de totale hoek gelijk aan , dan vormt de aaneenschakeling van m veelhoeken een vlakke figuur en bekomen we een zogenaamde vlakvulling - denk aan vier vierkanten die een dambordpatroon vormen.
• Is de totale hoek groter dan , dan kunnen we de uiterste ribben niet aan elkaar hangen zonder dat er uitstulpingen ontstaan, we kunnen geen convex ruimtelichaam realiseren - op de figuur staat een concave aaneenschakeling van zes vierkanten.
• Blijft de som van de n hoeken echter kleiner dan , dan kunnen we de uiterste ribben wel zo aan elkaar hangen dat er een convexe vorm ontstaat in het hoekpunt - drie vierkanten vouwen samen tot het hoekpunt van een kubus.

Willen we dus een convex lichaam bekomen, waarbij m regelmatige n-hoeken samenkomen in elk punt, dan zal zeker moeten gelden dat

 

 

 

of, indien we dit herschrijven naar

,

 

 

 

We hebben aangetoond, als een veelvlak met Schläfli-symbool (n,m) aan de gestelde eisen voor regelmaat wil voldoen, dan de ongelijkheid ([*]) zeker moet voldaan zijn.

Vijf mogelijkheden.

De voorwaarde ([*]) legt restricties op m en n. Bovendien heeft het pas zin om te spreken van een veelvlak vanaf n en m gelijk aan drie.

Kijken we dan naar een grafiek waarop al deze beperkingen zijn uitgezet,

 

 

 

dan zien we dat er slechts 5 koppels (n,m) van natuurlijke getallen voldoen, namelijk

 

 

 

Opdracht.

Wat is de betekenis van de drie punten die op de curve zijn aangeduid?

 

Merk op dat dit nodige voorwaarden zijn. We hebben niet

bewezen dat als aan de voorwaarden voldaan is, dan ook effectief een veelvlak met zo een Schläfli-symbool bestaat. Dit vereist dat we de vijf lichamen corresponderend met de gevonden Schläfli-symbolen expliciet construeren. We zullen deze constructie hier achterwege laten en geven alleen een beschrijving en afbeelding van de regelmatige veelvlakken.

 

De geldige Schläfli-symbolen.

(3,3)

Er komen drie driehoeken samen in elk hoekpunt. Dit herkennen we als de tetraëder;

(4,3)

Een ruimtelichaam met drie vierhoeken in elk punt is een kubus;

(3,4)

Een lichaam met vier driehoeken in elk punt ziet er uit als de versmelting van twee omgekeerde Egyptische piramides met samenvallend grondvlak en wordt vandaar soms dipiramide genoemd;

(5,3)

Dit koppel geeft een veelvlak opgebouwd uit vijfhoeken die per drie in een punt samen komen;

(3,5)

Dit lichaam tenslotte wordt begrensd door gelijkzijdige driehoeken, vijf in elk hoekpunt.

Opdracht.

Verifieer dat de gevonden Schläfli-symbolen corresponderen met de afgebeelde figuren.

 

Opdracht. Bereken van deze laatste drie veelvlakken het aantal zijvlakken , ribben en hoekpunten

zoals we dat eerder voor de kubus en het viervlak hebben gedaan. Vul de volgende tabel aan:

Opdracht.

Nu je de specificaties van de vijf platonische lichamen kent, bereken voor elk van deze lichamen de uitkomst van de formule op de affiche,

 

 

 

Wat is je conclusie?

 

Deze formule staat bekend als de formule van Euler voor vlakke grafen. Een graaf/graph is een structuur van punten en lijnen die tussen deze punten lopen, knopen en bogen genoemd, in het Engels gewoon vertices en edges. Kan zo een structuur op een blad papier worden getekend, waarbij bogen elkaar niet snijden, dan spreken we van een vlakke graaf. Voor alle vlakke grafen geldt dat

.

 

Opdracht. Zijn de punt-rechte structuren van de platonische lichamen vlakke grafen? Kan je de 4, 6, 8, 12 of 20 punten samen met de gepaste ribbenstructuur zo tekenen dat zij elkaar niet snijden? De lengte van de ribben speelt hier geen rol meer. Het moeten zelfs geen rechte lijnen zijn. Hieronder als voorbeeld een vlakke graaf corresponderend met de kubus.