De poster

Innemende Wiskunde

Pafnuty Chebyshev (1821-1894) was een Russisch wiskundige. Hij werd professor aan de universiteit van Sint-Petersburg en reisde frequent naar Frankrijk. In een economisch moeilijke periode verbeterde hij zijn inkomen door wiskundig-technisch advies te geven aan de eigenaar van een textielbedrijf. Zo vroeg men hem in het bijzonder naar methodes om textiel zuiniger te kunnen verknippen om er kledij van te maken.

Op 28 augustus 1878, tijdens een van zijn vele reizen naar Frankrijk, gaf hij een uiteenzetting in Parijs voor de “Association Française pour l’Avancement des Sciences” over het verknippen van een stuk textiel teneinde er zonder plooien een bol mee te bekleden. Het rapport over deze presentatie vertelt echter niet hoe Chebyshev dit wiskundig-technisch wou doen.

Opzoekingswerk van Prof. Étienne Ghys (École Normale Supérieure, Lyon) heeft dit echter uitgeklaard: de aanpak en de originele berekeningen van Chebyshev werden teruggevonden. Daar waar Chebyshev opteerde om een boloppervlak perfect en zonder plooien te bekleden met twee stukken textiel bestudeerde Étienne Ghys of de aangewende methode niet kon verbeterd worden. Hij berekende hoe textiel kon versneden worden teneinde met juist 1 stuk een boloppervlak te bekleden zonder plooien te vormen. De computeranimatie hieronder laat zien hoe dit kan gesimuleerd worden.

Klik hier indien u de video niet kan bekijken.

Hyperbolische meetkunde

Professor Ghys bestudeert in eenzelfde beweging ook analoge vraagstukken maar nu in een zogenaamde hyperbolische ruimte. De meetkundige kenmerken van dergelijke ruimten staan o.m. in contrast tot de klassieke en ons goed vertrouwde Euclidische meetkunde.

In de Euclidische meetkunde, bijvoorbeeld in dimensie 2 en dan spreken we van het vlak, geldt het zogenaamde parallellen-axioma van Euclides. Dit stelt dat er door een punt buiten een rechte precies 1 evenwijdige (dit wil zeggen niet snijdende) rechte gaat. Dit axioma geldt niet in de hyperbolische meetkunde. Daar gaan door een punt buiten een gegeven rechte oneindig veel rechten die de gegeven rechte niet snijden. Het vergt wat verbeeldingskracht om je zo een model van een niet-Euclidische meetkunde voor te stellen.

Een goed model hiervoor evenwel is het zogenaamde schijfmodel van Poincaré. Dit wordt getoond in de computeranimatie hieronder. We zien er een (groene) cirkelschijf (zonder cirkelrand). Laat ons die schijf ''het (hyperbolische) vlak'' noemen. Gedeelten van cirkelbogen, zoals er drie te zien zijn in de animatie, zijn in dit model de ''rechten''. Elk van de drie wagentjes in de animatie volgt zo een rechte. Naargelang van waar je je bevindt op zo een rechte wordt de ''lengte'' echter anders gemeten. Naarmate je (van buiten de schijf gezien) nadert tot de cirkelrand van de schijf, worden de autootjes kleiner en dat geldt ook voor de afstanden op de weg.   Om het met andere woorden te zeggen:  indien je een meetstok met een vaste lengte van 1 meter op die rechten zou leggen, dan zou die meetstok er voor ons steeds maar korter uitzien naarmate hij de cirkelrand nadert.  Echter, voor een "inwoner van het hyperbolisch vlak" zou die meetstok gezien worden als van constante lengte 1 meter!

Voor de bestuurders van de auto's ligt ''de rand'' van de cirkelschijf dus wel degelijk oneindig (en onbereikbaar) ver weg.  Een echte breinbreker, is het niet!? Laat de autootjes maar even rijden om te wennen aan dit idee!

Klik hier indien u de video niet kan bekijken.

Dimensions: een verhaal van meerdere dimensies!

In een bijzondere reeks van 9 computeranimaties, geproduceerd door Jos Leys, Étienne Ghys en Aurélien Alvarez, en dit in samenwerking met talrijke collega's en wiskundevrienden, wordt de kijker meegevoerd doorheen een verhaal dat start in twee dimensies en het verhaal brengt van de vierde dimensie. Hoe moeten we het ons voorstellen? Wat zijn de 4-dimensionale basisobjecten? Onderweg maken we kennis met de platonische lichamen en hun symmetrie, maar ook met Juliaverzamelingen en de fameuze Mandelbrotverzameling. Complexe getallen, hun pracht en hun kracht, zullen een sleutelrol spelen.

Vlaamse Wiskunde Olympiade is bijzonder verheugd tot deze reeks een bijdrage te kunnen leveren door het realiseren van een Nederlands gesproken versie van de films. We brengen hier een overzicht van dit verhaal dat je voortaan in het Nederlands kunt beluisteren. Onze dank en waardering gaat naar Piet Bonte (technicus) en naar Fleur Deboutte en Jan Lanneau die hun stem aan de filmen hebben verbonden.

Dimensions door Jos Leys - Étienne Ghys - Aurélien Alvarez.

Klik hier indien u de video niet kan bekijken.